二、单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

Model representation：模型描述

  • 在监督学习中我们有一个数据集，这个数据集被称训练集。（Training Set）

  • m:Number of traning examples
  • x:“input"variable/features输入变量/输入特征
  • y:“output"variable/“target"variable输出/目标
  • (x,y):a single training example
  • ：第i个训练样本，训练集第i行

  • h：hypothesis假设函数
  • h的作用是把房子的大小作为输入变量x，输出房子的预测价格y

how to we represent h?

  • this model is called liner regression 线性回归
  • univariate liner regression单变量线性回归

Cost Function:代价函数/损失函数

  • θ0,θ1：parameters of model模型参数

  • 我们选择的参数决定了我们得到的直线相对于我们的训练集的准确程度，模型所预测的值h(x)与训练集中实际值y之间的差距就是建模误差（modeling error）。我们的目标便是选择出可以使得建模误差的平方和能够最小的模型参数，使得代价函数最小。

  • 代价函数：

  • 确定θ0,θ1，使得代价函数最小。二元函数求极值需要做偏导，而这里的1/2m是为了求导时刚到抵消掉平方

  • 代价函数也被称作平方误差函数，有时也被称为平方误差代价函数。我们之所以要求出误差的平方和，是因为误差平方代价函数，对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合理的选择。还有其他的代价函数也能很好地发挥作用，但是平方误差代价函数可能是解决回归问题最常用的手段了。

  • 我们绘制一个等高线图，三个坐标分别为θ0和θ1和J,则可以看出在三维空间中存在一个使得最小的点。

Cost Function - Intuition I：直观理解1

  • 简化代价函数使得函数过原点

Cost Function - Intuition II

  • 代价函数的样子，等高线图，则可以看出在三维空间中存在一个使得最小的点。

  • 我们真正需要的是一种有效的算法，能够自动地找出这些使代价函数取最小值的参数来。

Gradient Descent ：梯度下降

  • 梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数J的最小值。

    梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到到到一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。

    想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转360度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。

  • 批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为：

    其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。

    在梯度下降算法中，还有一个更微妙的问题，梯度下降中，我们要更新θ0和θ1，当j=0和j=1时，会产生更新，所以你将更新J(θ0)和J(θ1)。实现梯度下降算法的微妙之处是，在这个表达式中，如果你要更新这个等式，你需要同时更新θ0和θ1，我的意思是在这个等式中，我们要这样更新：

    θ0:=θ0 ，并更新θ1:= θ1。

    实现方法是：你应该计算公式右边的部分，通过那一部分计算出θ0和θ1的值，然后同时更新θ0和θ1。

  • 让我进一步阐述这个过程：

    在梯度下降算法中，这是正确实现同时更新的方法。同时更新是梯度下降中的一种常用方法。我们之后会讲到，同步更新是更自然的实现方法。当人们谈到梯度下降时，他们的意思就是同步更新。（微分项）

Gradient Descent Intuition：梯度下降的直观理解

  • 对θ赋值，使得J按梯度下降最快方向进行，一直迭代下去，最终得到局部最小值。其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大。

  • 如果α太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果α太小的话，可能会很慢，因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。

    如果α太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果α太大，它会导致无法收敛，甚至发散。

  • 假设你将θ1初始化在局部最低点，在这儿，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优点，它使得θ1不再改变，也就是新的θ1等于原来的θ1，因此，如果你的参数已经处于局部最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率α保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。

  • 首先初始化我的梯度下降算法，在那个品红色的点初始化，如果我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。随着我接近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比，再小一点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。所以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，θ1更新的幅度就会更小。所以随着梯度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发现，已经收敛到局部极小值。

  • 在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小α。这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数J，不只是线性回归中的代价函数J。

Gradient Descent For Linea rRegression:梯度下降的线性回归

梯度下降算法和线性回归算法的比较如图

对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法，关键在于求出代价函数的导数，即：

我们刚刚使用的算法，有时也称为批量梯度下降。实际上，在机器学习中，通常不太会给算法起名字，但这个名字”批量梯度下降”，指的是在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本，在梯度下降中，在计算微分求导项时，我们需要进行求和运算，所以，在每一个单独的梯度下降中，我们最终都要计算这样一个东西，这个项需要对所有m个训练样本求和。因此，批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一"批"训练样本，而事实上，有时也有其他类型的梯度下降法，不是这种"批量"型的，不考虑整个的训练集，而是每次只关注训练集中的一些小的子集。在后面的课程中，我们也将介绍这些方法。

如果你之前学过线性代数，有些同学之前可能已经学过高等线性代数，你应该知道有一种计算代价函数最小值的数值解法，不需要梯度下降这种迭代算法。在后面的课程中，我们也会谈到这个方法，它可以在不需要多步梯度下降的情况下，也能解出代价函数的最小值，这是另一种称为正规方程(normal equations)的方法。实际上在数据量较大的情况下，梯度下降法比正规方程要更适用一些。